奇数算解いてみた
[[jumpuri:奇數算 > https://www.pixiv.net/novel/show.php?id=20969888]]といふ特殊な五進法の解答編です。
奇数算のルールのおさらひ
・1, 3, 5, 7, 9 の五つの数字を使ふ。
・偶数桁は用ゐない。
・三桁以上に就いて、同じ数字を偶数個使はない。
（1）三桁迄で幾つの數を表せるか
1, 3, 5, 7, 9
111←下二桁に入る数（3,5,7,9）4×3=12通り
333←（1,5,7,9）
555←（1,3,7,9）
777←（1,3,5,9）
999←（1,3,5,7）
5+13×5＝70
A. 70通り
（2）五桁迄では何うか
1XXXXの下四桁に就て、
（a）1が四回入る場合 1通り
（b）1が二回入る場合
11nn、4! ÷（2! × 2!）＝6通り
nに入る数字4×3=12
6×12=72通り
（c）1が入らない場合
下4桁に（3,5,7,9）がそれぞれ一回づつ入る場合 4!＝24通り
（3,5,7,9）から一つを選び（aとする）、それを3回使ふ並び（aaan）4通り
aは4通り、nは3通りだから、4×4×3=48通り
（a）+（b）+（c）＝145通り
3XXXX、5XXXX、7XXXX、9XXXXに就ても同様に
145×5=725通り
3桁までは70通りだつたので、
70+725=795
A. 795通り
（3）2023（10）を表せ
5桁迄だと795（10）迄しか表現できないので、7桁以上となる。
1XXXXXXに就て、下6桁を考へる。
（a）1が6個の場合 1通り
（b）1が4個の場合
1111nnについて、6! ÷ （4! × 2!）＝15通り
nに入る数字は4×3=12通り
15×12=180通り
（c）1が2個の場合
11nnnnは、6! ÷ （2! × 4!）=15通り
nに入る数字について
（3, 5, 7, 9）全部使ふ場合 4!=24通り
どれかを3つ使ふ場合（4通り）
aaabなので、4! ÷ 3! = 4通り
4×4=16通り
全部で40通り
15×40=600通り
（d）下6桁に1を使はない場合（3,5,7,9）
何れかを5つ使ふ場合（aaaaab）4×6=24通り
何れかを3つ使はなければならない（4通り）
aaannnについて、並びは6! ÷ （3! × 3!）=20通り
nに就いて、3つとも同じ数字の場合3通りと、それぞれ別の数字の場合3!=6通り、計9通り。
24+4×9×20=744通り
1+180+600+744=1525
七桁で表せる数は、1525×5=7625通り。
1XXXXXXは、796（10）〜2320（10）になる。
2023（10）はこれに含まれる。
19XXXXXの場合の下五桁について
（3,5,7）のみの場合は何れか一つを3回使ふ（3通り）
aaannの並びは、5! ÷（3! × 2!）=10通り
nについて2! =2通り
3×2×10=60通り…①
1を二つ、9を二つと（3,5,7）の三通り
aabbc 5! ÷（2! × 2!）＝30通り…②
1を二つと（3,5,7）から3つ（3! =6通り）
aannn 10通り
10×6=60通り…③
9を二つと（3,5,7）から3つ 60通り…④
1を四つと（3,5,7）から一つ（3通り）
aaaanは5通り、計15通り…⑤
9を四つと（3,5,7）から一つ 15通り…⑥
①〜⑥の和
60+30+60+60+15+15=240
これは、796（10）〜2319（10）についての、
2080（10）〜2319（10）にあたる。
よつて、2023（10）は17XXXXXではないか。
これも19XXXXXの場合と同数通りになるので、240通りで、1841（10）〜2080（10）。
これについて1840引くと、1〜240について、183となる。
これは大きい方からカウントダウンした方が早い。
そこで179XXXXから考へる。
下四桁について、1か7か9が四回入る場合 3通り
1,7,9のうち二つ選んで（3通り）それぞれ二回づつ入れる場合
aabbの並び替えは、 4! ÷（2! × 2!）＝6通り
3×6＝18通り
（1,7,9）が二回、（3,5）が二回入る場合。
aabbは六通り。
aは（1,7,9）の三通り。
bについて、33、55、35、53の四通り
3×4×6=72通り
下四桁について（3,5）が四回入る場合
aaabは四通りで、（a,b）は（3,5）と（5,3）の二通り。
4×2＝8通り
よつて179XXXXは、3+18+72+8=101通り
140〜240となり、183を含む。
次は1791XXXから考へる。Xには1が1個か3個入る。
1が1個の場合、7が2個、9が2個、3,5、5,3の4通り
1nnの並び替へは、3通り。
4×3=12通り。
1791XXXは13通りのやうだ。
次は1793XXXを考へる。
Xに（1,7,9,3）を用ゐる時は2個使はなければならない。そして組合さるのは5だけである。
aanの並び替へは3通り。そしてn=5である。
4×3＝12通り。
1795XXXの場合も12通りである。
1797XXXは13通り。
この中に2023（10）がある。
1795XXXまでで37通り。2023（10）は44番目となる。
XXXに7が一回または三回入る。
17971XXは（1,7）と（7,1）の二通り
1797117←38番目
1797191←39番目
17973XXは（5,7）と（7,5）
1797357←40番目
1797375←41番目
17975XXは（3,7）と（7,3）
1797537←42番目
1797573←43番目
17977XXに就て、1797711が44番目となる。
即ちこれが、2023（10）である。
（3'）1445（10）に就て表せ
795 < 1445 < 8240 より、七桁になる。
1XXXXXXは1525通りだと分かつてをり、796（10）〜2320（10）まで表す事が出来る。
これは、1445（10）を含む。
これらの数字から795を引くと、1〜1525の650番目といふ事が分かる。
11XXXXXは下五桁に一回、三回、又は五回1を使はなければならない。
（a）1を5回使ふ場合 1通り
（b）1を3回使ふ場合 残り二桁について（3,5,7,9）から重複なく二つ選ぶ。4×3=12通り
111nnの並びは5! ÷（3! × 2!）＝10通り
10×12＝120通り
（c）1を1回使ふ場合 残り四桁について（3,5,7,9）から四つ使ふ場合 4! =24通り
1nnnnは5通り。
24×5=120通り
残り四桁に就いて、（3,5,7,9）から一つ選んで三回使ひ、残りの三つを一桁とする場合
1aaanは5! ÷ 3! で良いのだらうか？ 20通り
aは四通り、nは三通りなので、組合せは12通り
20×12=240通り
（a）+（b）+（c）=481通り
1525通りといふ数字を信じるならば、1525-481＝1044
1044÷4＝261となる。
13XXXXXが261通りとなるかもう一度計算し直さう。
（a）1を四回使ひ、（5,7,9）を一回使ふ。
1111nの並び替へは5通りで、nは3通り。
5×3＝15通り
（b）3を四回使ふ場合も同様に15通り
（c）1を2回使ひ、3も2回使ふ。（5,7,9）を一回使ふ。aabbc 5! ÷（2! × 2!）=30通り cは3通りだから、90通り
（d）1を2回使ふ。残りの三桁は（5,7,9）から3! +3＝9通り。11nnnは5! ÷（3! × 2! ）=10通り
計90通り
（e）3を2回使ふ場合も同様に90通り
（f）1と3を用ゐず、（5,7,9）で五桁作る。
三回使はなければならないので、aaabcとなる。
5! ÷ 3! = 20通り aは3通りだから、
20×3=60通り
360通り
何かがおかしい。
（4）九桁
一桁 5通り
三桁 65通り
五桁 725通り
七桁 7625通り
九桁 下一桁が5になりさう
合計
5
70
795
8420
下一桁が5になりさう
111111111の下八桁に就て考へる。
1が六回入る場合
1が四回入り、（3,5,7,9）から同じ數が三回入る場合
1が二回入り、残り六桁に就いて、（1）五桁＋一桁、（2）三桁＋三桁、（3）三桁＋ばらばらの一桁。
1が入らない八桁に就て、（1）七桁＋一桁、（2）五桁＋三桁、（3）五桁とバラバラの一桁、（4）三桁＋三桁＋バラバラの一桁
（5）十一桁迄
下一桁が0になりさう
11111111111の下十桁に就て考へる。
1が八回、一桁、一桁
1が六回、三桁+一桁、一桁×4
1が四回、五桁+一桁、三桁×2、…
1が二回、七桁+一桁、…
1が入らない 九桁+一桁、…
（Ex）奇数算で、四則演算や乗算を示してみやう。
3+7=111
5-3=1
3×3＝7
111÷5=3
9^9＝25（10）=3XX（18（10）〜29（10））
後ろから数へる
97
95
91
79
75←これ。9^9＝375。
71